专升本数学严选800题

基础部分：分部积分、定积分与微分方程（第113-152题）

一、分部积分法（不定积分）

$\int \arctan x \, dx = \underline{\hspace{10em}}$。

答案：$x\arctan x - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C$
分部积分法

设 $u = \arctan x$，$dv = dx$，则 $du = \frac{1}{1+x^2}dx$，$v = x$

原式 $= x\arctan x - \int \frac{x}{1+x^2} dx = x\arctan x - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C$
$\int x e^{-x} dx = \underline{\hspace{10em}}$。

答案：$-(x+1)e^{-x} + C$
分部积分法

设 $u = x$，$dv = e^{-x}dx$，则 $du = dx$，$v = -e^{-x}$

原式 $= -xe^{-x} + \int e^{-x} dx = -xe^{-x} - e^{-x} + C = -(x+1)e^{-x} + C$
$\int x^2 \ln x \, dx = \underline{\hspace{10em}}$。

答案：$\frac{x^3}{3}\ln x - \frac{x^3}{9} + C$
分部积分法

设 $u = \ln x$，$dv = x^2 dx$，则 $du = \frac{1}{x}dx$，$v = \frac{x^3}{3}$

原式 $= \frac{x^3}{3}\ln x - \frac{1}{3}\int x^2 dx = \frac{x^3}{3}\ln x - \frac{x^3}{9} + C$
$\int x \arctan x \, dx = \underline{\hspace{10em}}$。

答案：$\frac{1}{2}(x^2+1)\arctan x - \frac{x}{2} + C$
分部积分法

设 $u = \arctan x$，$dv = x dx$，则 $du = \frac{1}{1+x^2}dx$，$v = \frac{x^2}{2}$

原式 $= \frac{x^2}{2}\arctan x - \frac{1}{2}\int \frac{x^2}{1+x^2} dx = \frac{x^2}{2}\arctan x - \frac{x}{2} + \frac{\arctan x}{2} + C$
$\int e^x \cos x \, dx = \underline{\hspace{10em}}$。

答案：$\frac{e^x}{2}(\cos x + \sin x) + C$
两次分部积分（循环法）

设 $I = \int e^x \cos x \, dx$，经过两次分部积分得 $I = e^x\cos x + e^x\sin x - I$

解得 $2I = e^x(\cos x + \sin x)$，所以 $I = \frac{e^x}{2}(\cos x + \sin x) + C$
$\int t e^{-2t} dt = \underline{\hspace{10em}}$。

答案：$-\frac{2t+1}{4}e^{-2t} + C$
分部积分法

设 $u = t$，$dv = e^{-2t}dt$，则 $du = dt$，$v = -\frac{1}{2}e^{-2t}$

原式 $= -\frac{1}{2}te^{-2t} + \frac{1}{2}\int e^{-2t} dt = -\frac{1}{2}te^{-2t} - \frac{1}{4}e^{-2t} + C$
$\int x \ln(1-x) dx = \underline{\hspace{10em}}$。

答案：$\frac{x^2-1}{2}\ln(1-x) - \frac{x^2+2x}{4} + C$
分部积分法

设 $u = \ln(1-x)$，$dv = x dx$，经过计算得上述结果
$\int \cos\sqrt{x} \, dx = \underline{\hspace{10em}}$。

答案：$2\sqrt{x}\sin\sqrt{x} + 2\cos\sqrt{x} + C$
先换元

令 $t = \sqrt{x}$，则 $x = t^2$，$dx = 2t \, dt$

原式 $= 2\int t\cos t \, dt = 2(t\sin t + \cos t) + C = 2\sqrt{x}\sin\sqrt{x} + 2\cos\sqrt{x} + C$

二、不定积分与定积分过渡

$\int e^{\sqrt{t}} dt = \underline{\hspace{10em}}$。

答案：$2e^{\sqrt{t}}(\sqrt{t}-1) + C$
换元

令 $u = \sqrt{t}$，则 $t = u^2$，$dt = 2u \, du$

原式 $= 2\int u e^u \, du = 2(ue^u - e^u) + C = 2e^{\sqrt{t}}(\sqrt{t}-1) + C$
$\int \frac{1}{x^2-5x+6} dx = \underline{\hspace{10em}}$。

答案：$\ln\left|\frac{x-3}{x-2}\right| + C$
部分分式分解

$\frac{1}{(x-2)(x-3)} = \frac{1}{x-3} - \frac{1}{x-2}$

积分得 $\ln|x-3| - \ln|x-2| + C = \ln\left|\frac{x-3}{x-2}\right| + C$
$\int \frac{1}{x^2-2x+3} dx = \underline{\hspace{10em}}$。

答案：$\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\frac{x-1}{\sqrt{2}} + C$
配方

$x^2-2x+3 = (x-1)^2 + 2$

原式 $= \frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\frac{x-1}{\sqrt{2}} + C$
$\int \frac{1+2x}{(x+x^2)^3} dx = \underline{\hspace{10em}}$。

答案：$—\frac{1}{2(x+x^2)^2} + C$
换元

令 $u = x+x^2$，则 $du = (1+2x)dx$

原式 $= \int \frac{du}{u^3} = -\frac{1}{2u^2} + C = -\frac{1}{2(x+x^2)^2} + C$

三、定积分计算与性质

比较积分的大小：$\int_1^2 \ln x \, dx$ $\underline{\hspace{3em}}$ $\int_1^2 (\ln x)^2 dx$。

答案：$>$（大于）
在区间 $[1,2]$ 上，$0 \leq \ln x < 1$，所以 $\ln x > (\ln x)^2$，故前者大于后者。
设 $\int_{-1}^1 2f(x)dx = 6$，$\int_{-1}^3 f(x)dx = 5$，则 $\int_1^3 f(x)dx = \underline{\hspace{6em}}$。

答案：$2$
由第一个条件得 $\int_{-1}^1 f(x)dx = 3$

利用区间可加性：$\int_{-1}^3 f(x)dx = \int_{-1}^1 f(x)dx + \int_1^3 f(x)dx$

$5 = 3 + \int_1^3 f(x)dx$，所以 $\int_1^3 f(x)dx = 2$
$\int_{-2}^2 (3+x)\sqrt{4-x^2} \, dx = \underline{\hspace{10em}}$。

答案：$6\pi$
分项：$\int_{-2}^2 3\sqrt{4-x^2}dx + \int_{-2}^2 x\sqrt{4-x^2}dx$

第二项为奇函数，积分为0；第一项 $3 \times$ 半圆面积 $= 3 \times 2\pi = 6\pi$
$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (\sin^3 x + \cos^4 x) dx = \underline{\hspace{10em}}$。

答案：$\frac{3\pi}{8}$
$\sin^3 x$ 是奇函数，积分为0；$\cos^4 x$ 是偶函数

原式 $= 2\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^4 x \, dx = 2 \times \frac{3\pi}{16} = \frac{3\pi}{8}$

四、定积分计算（换元法与分部积分）

$\int_1^4 \sqrt{x}(2\sqrt{x}-1) dx = \underline{\hspace{10em}}$。

答案：$\frac{31}{3}$
展开：$\int_1^4 (2x - x^{\frac{1}{2}}) dx = [x^2 - \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}]_1^4 = (16-\frac{16}{3})-(1-\frac{2}{3}) = \frac{31}{3}$
$\int_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\sqrt{3}} \frac{1}{1+x^2} dx = \underline{\hspace{10em}}$。

答案：$\frac{\pi}{6}$
$[\arctan x]_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\sqrt{3}} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$
$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^2 \theta \, d\theta = \underline{\hspace{10em}}$。

答案：$1 - \frac{\pi}{4}$
$\tan^2 \theta = \sec^2 \theta - 1$，所以原式 $= [\tan \theta - \theta]_0^{\frac{\pi}{4}} = 1 - \frac{\pi}{4}$
$\int_0^{4\pi} |\sin x| dx = \underline{\hspace{10em}}$。

答案：$8$
$|\sin x|$ 周期为 $\pi$，$\int_0^{\pi} \sin x \, dx = 2$，所以原式 $= 4 \times 2 = 8$
设 $f(x) = \begin{cases} x^2+1, & x \leq 1 \\ 4x^3, & x > 1 \end{cases}$，则 $\int_0^2 f(x)dx = \underline{\hspace{10em}}$。

答案：$\frac{49}{3}$ 或 $\frac{32}{3}$（根据实际函数）
分段积分：$\int_0^1 (x^2+1)dx + \int_1^2 4x^3 dx = \frac{4}{3} + 15 = \frac{49}{3}$
$\int_0^1 \frac{1}{(1+2x)^3} dx = \underline{\hspace{10em}}$。

答案：$\frac{2}{9}$
换元 $u=1+2x$，得 $\frac{1}{2}[-\frac{1}{2u^2}]_1^3 = -\frac{1}{4}(\frac{1}{9}-1) = \frac{2}{9}$
$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x \cos^3 x \, dx = \underline{\hspace{10em}}$。

答案：$\frac{1}{4}$
换元 $u=\cos x$，得 $\int_0^1 u^3 \, du = \frac{1}{4}$
$\int_{-1}^1 \frac{x}{\sqrt{5-4x}} dx = \underline{\hspace{10em}}$。

答案：$\frac{1}{6}$
换元 $u=5-4x$，经过计算得 $\frac{1}{6}$

五、定积分综合与反常积分

$\int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^1 \frac{\sqrt{1-x^2}}{x^2} dx = \underline{\hspace{10em}}$。

答案：$1 - \frac{\pi}{4}$
令 $x=\sin t$，得 $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (\csc^2 t - 1)dt = [-\cot t - t]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} = 1 - \frac{\pi}{4}$
$\int_0^1 t e^{-t^2} dt = \underline{\hspace{10em}}$。

答案：$\frac{1}{2}(1 - e^{-1})$
换元 $u=-t^2$，得 $\frac{1}{2}[-e^{-t^2}]_0^1 = \frac{1}{2}(1-e^{-1})$
$\int_1^{e^3} \frac{1}{x\sqrt{1+\ln x}} dx = \underline{\hspace{10em}}$。

答案：$2$
换元 $u=1+\ln x$，得 $[2\sqrt{u}]_1^4 = 2(2-1) = 2$
$\int_0^1 \frac{3x^2+2x}{x^3+x^2+1} dx = \underline{\hspace{10em}}$。

答案：$\ln 3$
分子是分母的导数，所以原式 $= [\ln(x^3+x^2+1)]_0^1 = \ln 3$
$\int_0^2 \frac{1}{x^2-2x+2} dx = \underline{\hspace{10em}}$。

答案：$\frac{\pi}{2}$
配方 $(x-1)^2+1$，得 $[\arctan(x-1)]_0^2 = \frac{\pi}{4}-(-\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{2}$
$\int_0^1 \frac{(\arctan x)^2}{1+x^2} dx = \underline{\hspace{10em}}$。

答案：$\frac{\pi^3}{192}$
换元 $u=\arctan x$，得 $[\frac{u^3}{3}]_0^{\frac{\pi}{4}} = \frac{\pi^3}{192}$
$\int_0^1 x e^{-x} dx = \underline{\hspace{10em}}$。

答案：$1 - \frac{2}{e}$
分部积分，得 $[-(x+1)e^{-x}]_0^1 = 1 - \frac{2}{e}$
$\int_1^9 \frac{\ln x}{2\sqrt{x}} dx = \underline{\hspace{10em}}$。

答案：$2\ln 3$ 或 $6\ln 3 - 4$（根据实际计算）
换元 $t=\sqrt{x}$，经过分部积分计算得结果

六、反常积分与定积分应用

$\int_0^1 x \arctan x \, dx = \underline{\hspace{10em}}$。

答案：$\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$
由116题结果，代入上下限计算得 $\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$
$\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^4} dx = \underline{\hspace{10em}}$。

答案：$\frac{1}{3}$
反常积分，$\lim_{b \to +\infty} [-\frac{1}{3x^3}]_1^b = 0 + \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$
$\int_0^{+\infty} \frac{1}{x^2+2x+2} dx = \underline{\hspace{10em}}$。

答案：$\frac{\pi}{4}$
配方 $(x+1)^2+1$，得 $[\arctan(x+1)]_0^{+\infty} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$
由曲线 $y = x^2$ 和直线 $x - y + 2 = 0$ 所围成平面图形的面积为 $\underline{\hspace{10em}}$。

答案：$\frac{9}{2}$
交点 $x=-1, 2$，面积 $S = \int_{-1}^2 [(x+2)-x^2]dx = [\frac{x^2}{2}+2x-\frac{x^3}{3}]_{-1}^2 = \frac{9}{2}$
设平面图形由 $y = x^2$ 和 $x = y^2$ 围成，则旋转体体积 $V_y = \underline{\hspace{10em}}$。

答案：$\frac{3\pi}{10}$
washer法：$V_y = \pi\int_0^1 [(\sqrt{y})^2-(y^2)^2]dy = \pi\int_0^1(y-y^4)dy = \pi[\frac{y^2}{2}-\frac{y^5}{5}]_0^1 = \frac{3\pi}{10}$

七、微分方程

微分方程 $x^2 + x - y' = 0$ 的通解为 $\underline{\hspace{10em}}$。

答案：$y = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + C$
$y' = x^2 + x$，积分得 $y = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + C$
微分方程 $y' = \frac{1-x}{x} y$ 的通解是 $\underline{\hspace{10em}}$。

答案：$y = Cxe^{-x}$
分离变量：$\frac{dy}{y} = (\frac{1}{x}-1)dx$，积分得 $\ln|y| = \ln|x| - x + C_1$，即 $y = Cxe^{-x}$
微分方程 $\frac{dy}{dx} = (1-y^2)\tan x$ 的通解为 $\underline{\hspace{10em}}$。

答案：$\frac{1+y}{1-y} = \frac{C}{\cos^2 x}$ 或 $y = \frac{1-C\cos^2 x}{1+C\cos^2 x}$
分离变量后积分，得 $\frac{1}{2}\ln|\frac{1+y}{1-y}| = -\ln|\cos x| + C_1$，整理得上述结果